Trang Chủ / Bài Viết / Toán THCS / ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 – GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 – GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Phương trình bậc 2 là một chuyên đề cơ bản và luôn xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh 10. Trong đó, việc chuyển đổi các phương trình phức tạp về phương trình bậc 2 để có thể dễ dàng giải phương trình ban đầu đã cho . Nhằm hỗ trợ học sinh ôn tập, chuẩn bị cho kỳ tuyển sinh 10 sắp tới, Diễn đàn máy tính cầm tay sẽ trình bày một số dạng phương trình thường gặp có thể đưa về dạng phương trình bậc 2 một ẩn.

Tóm tắt các dạng bài cơ bản

  • Phương trình chứa dấu căn thức

Phương trình \(\sqrt{f\left( x \right)}=g\left( x \right)\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & g\left( x \right)\ge 0 \\  & f\left( x \right)={{g}^{2}}\left( x \right) \\ \end{align} \right.\)

Phương trình \(\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{g\left( x \right)}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f\left( x \right)\ge 0\left( g\left( x \right)\ge 0 \right) \\ & f\left( x \right)=g\left( x \right) \\ \end{align} \right.\)

  • Phương trình \(\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=k\) với \(a,b,c,d,k\) là những số cho trước, trong đó \(a+b=c+d\)

Ta có \(\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=k\) \(\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}+(a+b)x+ab \right]\left[ {{x}^{2}}+(c+d)x+cd \right]=k\)

Khi đó đặt \(t=x^{2}+(a+b) x\), sau đó khai triển và sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc 2 tìm nghiệm \(t\) : \((t+a b)(t+c d)=k\)

Từ đó tìm nghiệm \(x\) bằng cách giải phương trình \(x^{2}+(a+b) x-t=0\)

  • Bên cạnh đó, khi gặp phải các bài toán giải phương trình tích, phương trình chứa mẫu số , phương trình trùng phương, chúng ta thường áp dụng phương pháp đưa về phương trình bậc 2 để giải quyết.

Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1. (Phương trình chứa căn) Giải các phương trình sau:

  1. \(\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-11}=\sqrt{{{x}^{2}}-1}\)
  2. \(\sqrt{2{{x}^{2}}+3x-5}=x+1\)
  3. \(\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-3x}=0\)

Hướng dẫn giải

a. \(\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-11}=\sqrt{{{x}^{2}}-1}\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{x}^{2}}-3x-11\ge 0 \\& {{x}^{2}}-1\ge 0 \\& 2{{x}^{2}}-3x-11={{x}^{2}}-1 \\\end{align} \right.\\$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x<\dfrac{3-\sqrt{97}}{4}\vee x>\dfrac{3+\sqrt{97}}{4} \\& x<-1\vee x>1 \\& {{x}^{2}}-3x-10=0 \\\end{align} \right.\\$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\le -1\vee x>\dfrac{3+\sqrt{97}}{4} \\& x=5\vee x=-2 \\\end{align} \right.\\$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-2 \\& x=5 \\\end{align} \right.\\$

Để giải nhanh và chính xác các phương trình và bất phương trình bậc 2 ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay

Đối với Casio fx- 580VN X ta vào wz23 để giải các bất phương trình

Để giải phương trình bậc 2 ta ấn w922

b. \(\sqrt{2{{x}^{2}}+3x-5}=x+1\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x+1\ge 0 \\& 2{{x}^{2}}+3x+5={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.\\$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& 2{{x}^{2}}+3x+5={{x}^{2}}+2x+1 \\\end{align} \right.\\$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& {{x}^{2}}+x+4=0 \\\end{align} \right.\\$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& \Delta =-15<0 \\\end{align} \right.\\$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý:

Đối với máy tính Casio fx 580vnx, dòng máy này có tính năng thông báo vô nghiệm khi giải phương trình, hệ phương trình

Để cài đặt tính năng thông báo vô nghiệm ta lần lượt bấm các phím sau qwR42

c. \(\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-3x}=0\)

Trường hợp 1. \(\left\{ \begin{align} & x-1=0 \\  & {{x}^{2}}-3x\ge 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=1 \\  & x\le 0,x\ge 3 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \) vô nghiệm

Trường hợp 2. \({{x}^{2}}-3x=0\) \(\Leftrightarrow x\left( x-3 \right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=3 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=0\) và \(x=3\)

Bài toán 2. Giải các phương trình sau:

  1. \(\sqrt{x}-x=2 \sqrt{x}+5\)
  2. \(\dfrac{2 x+1}{x}+5 \dfrac{x}{2 x+1}=6\)

Bình luận:

\(\sqrt{x}-x=2 \sqrt{x}+5\) là một phương trình chứa căn. Để khử căn thức trong phương trình trên ta đặt \(\sqrt{x}=t\left( t\ge 0 \right)\)

Hướng dẫn giải

a. \(\sqrt{x}-x=2 \sqrt{x}+5\)

Đặt \(t=\sqrt{x}\left( t\ge 0 \right)\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành \(t-{{t}^{2}}=2t+5\) \(\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+5=0\)

Ta có: \(\Delta=1-20<0\).

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

b. \(\dfrac{2 x+1}{x}+5 \dfrac{x}{2 x+1}=6\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{align}& x\ne 0 \\& x\ne \dfrac{-1}{2} \\\end{align} \right.\)

Đặt \(t=\dfrac{2x+1}{x}\). Khi đó phương trình đã cho trở thành

\(t+\dfrac{5}{t}=6\) \(\Leftrightarrow t^{2}+5=6 t \Leftrightarrow t^{2}-6 t+5=0 \Leftrightarrow(t-1)(t-5)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t=1} \\ {t=5}\end{array}\right.\)

  • Với \(t=1\) ta có \(\dfrac{2 x+1}{x}=1 \Leftrightarrow x=2 x+1 \Leftrightarrow x=-1\)
  • Với \(t=5\) ta có \(\dfrac{2 x+1}{x} =5\Leftrightarrow 5 x=2 x+1 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=-1\) và \(x=\dfrac{1}{3}\)

Bài toán 3. Giải phương trình

  1. \(x(x+1)(x+2)(x+3)=1\)
  2. \(x\left(x^{2}-4\right)(x+4)-1=0\)

Hướng dẫn giải

a. \(x(x+1)(x+2)(x+3)=1\)

Ta có \(0+3=1+2\) nên ta sẽ phân tích phương trình đã cho thành \(\left( {{x}^{2}}+3x \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=1\left( * \right)\)

Đặt \(t={{x}^{2}}+3x\) . Khi đó phương trình (*) trở thành

$t\left( t+2 \right)=1$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\\$

Ta có: \({\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac=2>0\)

Như vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: \({{t}_{1}}=-1+\sqrt{2}\); \({{t}_{2}}=-1-\sqrt{2}\)

  • Với \({{t}_{1}}=-1+\sqrt{2}\) ta có:
\({{x}^{2}}+3x=-1+\sqrt{2}\) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+1-\sqrt{2}=0\\$

$\Delta =9-4\left( 1-\sqrt{2} \right)=5+4\sqrt{2}>0\\$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\dfrac{-3+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}\) ; \({{x}_{2}}=\dfrac{-3-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}\)

  • Với \({{t}_{1}}=-1-\sqrt{2}\) ta có:
\({{x}^{2}}+3x=-1-\sqrt{2}\) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+1+\sqrt{2}=0\\$

\(\Delta =9-4\left( 1+\sqrt{2} \right)=5-4\sqrt{2}<0\). Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\dfrac{-3+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}\) ; \({{x}_{2}}=\dfrac{-3-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}\)

b. \(x\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x+4 \right)-1=0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)=1\)

Ta có \(0+2=-2+4\), do đó ta sẽ phân tích phương trình đã cho thành \(\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}+2x-8 \right)=1\) (*)

Đặt \(t={{x}^{2}}+2x\). Khi đó phương trình (*) trở thành:

\(t\left( t-8 \right)=1\) \(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t-1=0\)$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=4+\sqrt{17} \\& {{t}_{2}}=4-\sqrt{17} \\\end{align} \right.\\$

Với \({{t}_{1}}=4+\sqrt{17}\) ta được \({{x}^{2}}+2x=4+\sqrt{17}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-4-\sqrt{17}=0\) (1)

${\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac=1+4+\sqrt{17}=5+\sqrt{17}>0\\$

Như vậy phương trình (1) có hai nghiệm:

${{x}_{1}}=-1+\sqrt{5+\sqrt{17}}$ hoặc ${{x}_{2}}=-1-\sqrt{5+\sqrt{17}}\\$

Với \({{t}_{2}}=4-\sqrt{17}\) ta được \({{x}^{2}}+2x=4-\sqrt{17}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-4+\sqrt{17}=0\)(2)

${\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac=1+4-\sqrt{17}=5-\sqrt{17}<0\\$

Như vậy phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \({{x}_{1}}=-1+\sqrt{5+\sqrt{17}}\) hoặc \({{x}_{2}}=-1-\sqrt{5+\sqrt{17}}\)


Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết  GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2. Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2019 MÔN VẬT LÝ- SỞ QUÃNG BÌNH

Chia sẻ với các bạn đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 môn Vật Lý …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết