Trang Chủ / Bài Viết / PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: TẠI SAO PHẢI TÍNH DELTA?

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: TẠI SAO PHẢI TÍNH DELTA?

Thông thường đối với một học sinh lớp 9, khi hỏi cách tính phương trình bậc 2 \(\left( a{{x}^{2}}+bx+c=0,a\ne 0 \right)\) , các em học sinh thường sẽ trả lời là: “ta tính \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\) sau đó xét coi \(\Delta >0,\Delta <0\) hay \(\Delta =0\) rồi từ đó tuỳ thuộc vào \(\Delta \) mà ta có cách tính cụ thể cho từng nghiệm”. Vậy tại sao phải tính delta, đa phần các em không trả lời được. Bài viết này ad sẽ chỉ dành để trả lời câu hỏi đó.

Trước tiên, ta sẽ xem lại cách giải nghiệm của các em học sinh lớp 9.

Nước được phun thành đường cong dạng đồ thị của hàm số bậc hai (nguồn: internet)

1. Phương trình bậc 2 là gì ? Cách giải tổng quát phương trình bậc 2 thông thường

a. Phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

\(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Trong đó $a\ne 0,a,b$ là hệ số, $c$ là hằng số.

b. Cách giải tổng quát

Ta xét phương trình:

\(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Với biệt thức delta

\(\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c\)

Sẽ có ba trường hợp:

+ Nếu \(\Delta <0\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(\Delta =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\dfrac{b}{2\text{a}}\).

+ Nếu \(\Delta >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\).

Trên đây là công thức tìm nghiệm tổng quát của phương trình bậc 2. Trông thì có vẻ đơn giản, nhưng các em học sinh thì mãi không hiểu được tại sao phải tìm \(\Delta \). Và thầy cô thường lẩn tránh câu hỏi đó.

2. Tại sao phải tìm \(\Delta \) ?

ad sẽ chứng minh công thức giải nghiệm của phương trình bậc 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c=0\\\Leftrightarrow a\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{b}{a}x} \right)+c=0\\\Leftrightarrow a\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{b}{a}x+{{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}}^{2}}} \right)+c=0\\\Leftrightarrow a\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{b}{a}x+{{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}}^{2}}} \right)-a{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}+c=0\\\Leftrightarrow a\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{b}{a}x+{{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}}^{2}}} \right)-\dfrac{{{{b}^{2}}}}{{4a}}+c=0\\\Leftrightarrow a{{\left( {x+\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}-\dfrac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4a}}=0\\\Leftrightarrow a{{\left( {x+\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{{b}^{2}}-4ac}}{{4a}}\end{array}\)

$ \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}{{\left( {x+\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-4ac$

Tới đây ta có thấy gì quen quen không, chính xác đó chính là cái \(\Delta \) mà chúng ta vẫn hay tính lúc giải phương trình bậc 2. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng \(0\). Nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của \({{b}^{2}}-4ac\):

+ \({{b}^{2}}-4ac<0\) : phương trình vô nghiệm

+ \({{b}^{2}}-4ac=0\) Phương trình trở thành

$$ 4{{a}^{2}}{{\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}$$

+ \({{b}^{2}}-4ac>0\) Phương trình trở thành

$$ \begin{aligned}  & 4{{a}^{2}}{{\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-4ac \\ & \Leftrightarrow {{\left[ 2a\left( x+\dfrac{b}{2a} \right) \right]}^{2}}={{b}^{2}}-4ac\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & 2a\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)=\sqrt{{{b}^{2}}-4ac} \\ & 2a\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)=-\sqrt{{{b}^{2}}-4ac} \\\end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\ & x+\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & x=-\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\ & x=-\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\\end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & x=\dfrac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\ & x=\dfrac{-b-\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \\\end{aligned} \right. \\\end{aligned}$$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và \({{b}^{2}}-4ac\) là mấu chốt cho việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\) nhằm giúp xét điều kiện có nghiệm dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

—————————————–

Theo ad đây là giải thích cho câu trả lời: “tại sao phải tính Delta trong phương trình bậc 2” các bạn có ý tưởng, hay câu trả lời nào hay hơn thì gửi tin nhắn qua fanpage cho ad nhá.

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ DƯỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO FX 580VNX- PHẦN 3

Diễn đàn sẽ sử dụng lệnh SOLVE để tìm nghiệm vô tỷ kết hợp với phương pháp chia đa thức với Casio fx 580VNX để phân tích đa thức chứa căn thành tích các đa thức 

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết