Trang Chủ / Bài Viết / Toán THCS / HSG Casio THCS / XÂY DỰNG MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

XÂY DỰNG MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

 Trong kỳ thi học sinh giỏi máy tính cầm tay cấp thành phố, đặc biệt là thành phố Hồ Chí Minh, thí sinh phải giải một tam giác khi biết ba cạnh. Trong khuôn khổ lớp 10, vấn đề này được trình bày trong giáo khoa. Ở đây trong khuôn khổ lớp 9 và yêu cầu cần thiết cho kỳ thi học sinh giỏi máy tính, chúng tôi xây dựng các hệ thức lượng này. Các GV phụ trách dội tuyển chứng minh công thức cho học sinh (như sinh hoạt ngoại khoá), riêng học sinh thì thuộc công thức để sử dụng.

  1. Hệ thức trung tuyến.

    Trong một tam giác tổng bình phương hai cạnh bằng hai lần bình phương trung tuyến ứng với cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương của cạnh thứ ba.

    Chứng minh.  Giả sử $AB<AC$, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

    Ta có

    $AB^2=AH^2+BH^2$

    $AC^2=AH^2+HC^2$

    Suy ra $AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+HC^2=2(AM^2-HM^2)+BH^2+HC^2$

    Ta tính riêng $BH^2+BC^2-2HM^2$ với 

    $HM=BM-BH =\dfrac{BC}{2}-BH=\dfrac{BH+CH}{2}-BH=\dfrac{CH-BH}{2}$

    $ \Rightarrow HM^2=\dfrac{BH^2+CH^2-2BH.CH}{4}$.

    Do đó $BH^2+BC^2-2HM^2=\dfrac{BH^2+CH^2+2BH.CH}{2}=\dfrac{(BH +CH)^2}{2}=\dfrac{BC^2}{2}$.

    Tóm lại $AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac{BC^2}{2}$

    Áp dụng: Cho tam giác $ABC$  có cạnh $AB = 5,7; BC = 8,3; CA = 7,6$. Đường trung tuyến $AM$ cắt phân giác $BD$ tại $I$. Tính (chính xác đến 2 chữ số thập phân): các đoạn $IA, IB, IC$.

     

     Áp dụng hệ thức trung tuyến, ta có:

     

    Theo tính chất của đường phân giác trong ta có:

    $$\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{BA}{BM} \Leftrightarrow BM.IA=BA.IM$$

    Vậy $IA=3,06$

     

  2. Tính các góc trong tam giác.

    Trong một tam giác bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc tạo bởi hai cạnh đó.

    Chứng minh.


    Ta chỉ xét tam giác  nhọn.

    $BC^2=(BK+KC)^2=BK^2+KC^2+2.BK.CK$

$=AB^2-AK^2+AC^2-AK^2+2.BK.CK$

$=AB^2+AC^2-2(AK^2-BK.CK)$

Ta lại có: $CH.CA=CK.CB \Leftrightarrow (AC-AH)AC=CK(CK+KB)$

$\Leftrightarrow AC^2-CK^2-CK.KB=AH.AC$

mà $AH=AB.\cos A$ nên $AH.AC=AB.AC\cos A$.

Tóm lại:

 

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos A$ 

 

Áp dụng. Tính IB, IC

Ta có: $\cos B=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2.BA.BC}=$

$\Rightarrow \widehat{B}=$$\Rightarrow \dfrac{\widehat{B}}{2}=$$\cos\dfrac{\widehat{B}}{2}=$

Trong tam giác $ABI$ ta có:

$$IA^2=BA^2+BI^2-2BA.BI\cos\dfrac{\widehat{B}}{2}$$

$$x^2-2xBA\cos\dfrac{\widehat{B}}{2}+BA^2-IA^2=0$$

Bấm nhập hệ số

$a=1 , b=-2\times 5.7\times C, c=5.7^2-B^2 $ với $B$ và $C$ là hai biến nhớ đã lưu, lưu ý không làm tròn số trong quá trình tính ra đáp số cuối cùng.

Ta nhận nghiệm $x_2$

Vậy $IB=4,11$ lưu vào D.

Trong tam giác $IBC$ ta có: $IC^2=BI^2+BC^2-2.BI.BC.\cos \dfrac{\widehat{B}}{2}$

 

Vậy $IC=5,24 $

 

TÓM TẮT GIÁO KHOA

1. Hệ thức trung tuyến:
$$AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac{BC^2}{2}$$

2. Tính ba góc:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos A$$

$$\Rightarrow \cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}$$

3. Chiều dài đường phân giác trong

Các em học sinh ghi nhận công thức sau đây. Các GV có thể chứng minh cho các em trong buổi sinh hoạt ngoại khoá. Mục đích của việc ghi nhớ công thức này là để giải nhanh bài thi học sinh giỏi máy tính cầm tay cấp thành phố.

$$\ell =\dfrac{2bc}{b+c}\cos \dfrac{A}{2}$$

$\ell$ là độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$, $b=AC, c=AB$.

Áp dụng tính trực tiếp IB trong bài toán trên:

 

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
  • nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009).
  • nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011).
  • nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).
  • Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM về Hình học cao cấp (ĐH), Lý thuyết Liên thông, Tôpô Đại số  và K-lý thuyết (Cao học).

Bài Viết Tương Tự

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VNX TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài toán xác định GTNN và GTLN của một hàm số là một dạng toán …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết